Wyobraźmy sobie następującą grę. W skrzyni znajduje się 10 kul, z czego 1 może być czarna. Prawdopodobieństwo, że czarna kula znajduje się w skrzyni wynosi 1/2. Zadaniem gracza jest właściwe odgadnięcie, czy w skrzyni znajduje się czarna kula. Gracz może:
- udzielić odpowiedzi natychmiast,
- raz wylosować dowolną, z góry zadeklarowaną, liczbę kul,
Przystąpienie do gry kosztuje 50 PLN. Za prawidłową odpowiedź gracz otrzymuje 100 PLN, przy czym kwota jest pomniejszana o 5 PLN za każdą wylosowaną kulę.
Przykładowo: gracz przystępuje do gry, deklaruje wylosowanie 3 kul. Jedna z kul jest czarna, więc oczywiście odpowiada (prawidłowo), że w skrzyni znajduje się czarna kula. Otrzymuje 85 PLN (100 - 3 * 5 = 100 - 15 = 85 PLN).
Pytanie: czy ta gra ma sens?
PS. Zawsze też można zastraszyć mistrza gry, przy niekorzystnych dla nas warunkach :>
Mamy 2 przypadki z prawdopodobieństwem 50%:
1. Wszystkie kule są białe.
2. Jedna z kul jest czarna.
Jeśli zadeklaruje 0 kul, to w połowie przypadków zarobi 50 zł, w drugiej połowie straci 50 zł. Czyli suma zero.
Jeśli zadeklaruje "kupno" 1 kuli, to:
1. Odpowiada zawsze, że wszystkie białe i wygrywa 45 zł.
2. 10% szans, że wylosuje czarną (i odpowie prawidłowo) - zysk 45 zł. 90% szans, że wylosuje biała (i odpowie, że biała) - strata 55 zł. 0,1*45+0,9*(-55)=-45 zł. Znowu suma zero.
Po drugie prawdopodobieństwo sukcesu/porażki dla sytuacji, w której gracz mówi "nie ma czarnej" chyba, że w wylosowanej próbce jest czarna kula, podałeś dla przypadku, gdy w skrzyni JEST czarna kula. A ta kula może być w skrzyni z prawdopodobieństwem 50%.
Jak pisałem wcześniej, "Mamy 2 przypadki z prawdopodobieństwem 50%". Skoro wartość oczekiwana wygranej jest taka sama w obu przypadkach, a prawdopodobieństwa obu przypadków równe, to pominąłem prawdopodobieństwa (OK, faktycznie nieczytelne było).
Zakładam, że zmierzasz do paradoksu urodzin w przypadku, kiedy jest czarna kula wśród 10. Tylko nie jestem przekonany, że słusznie.
Upieram się, że źle policzyłeś prawdopodobieństwa dla przypadku, w którym gracz "kupuje" jedną kulę.
Gracz ma 50% szans, że w skrzyni nie ma czarnej kuli, więc tu przyjęta strategia odpowiadania "biała" o ile nie wyciągnie czarnej gwarantuje mu tu wygraną.
Drugie 50% szans ma na to, że w skrzyni jest czarna kula. W tym przypadku ma tylko 10% szans na to, że ją wyciągnie i aż 90% szans na to, że jej nie wyciągnie, a więc odpowie błędnie.
Szansa na wygraną w tym przypadku to:
1/2 + 1/2 * 1/10 = 10/20 + 1/20 = 11/20 = 0,55, a szansa porażki to 0,45.
Wartość oczekiwana będzie wynosić:
-50 * 0,45 + 0,55 * 45 = -22,50 + 24,75 = 2,25
Nie gwarantuje nam to oczywiście, że zawsze zarobimy te 2,25. Wiemy natomiast, że w dłuższej perspektywie zarabiamy i średni zarobek dąży do 2,25 na próbę.
Na załączonym obrazku widać, że gra "nie sumuje się" do 0 niezależnie od ilości wylosowanych kul.
-50 0,45 + 0,55 45 = -22,50 + 24,75 = 2,25"
Dlaczego -50, a nie -55? Przecież gracz kupuje dodatkową kulę także w przypadku przegranej, bo nie wie, z którym przypadkiem (jest czarna kula, czy jej nie ma) ma do czynienia.
Jeśli "kupno" kul jest płatne tylko w przypadku wygranej, to faktycznie tak jak piszesz i jest sens grać.
Przystąpienie do gry kosztuje 50 PLN, dodatkowo wylosowanie każdej kuli 5 PLN, w przypadku prawidłowej odpowiedzi gracz otrzymuje 100 PLN.
Ale to tylko pokazuje, jak wielką rolę ma interpretacja. Chyba dlatego w szkołach "zadania z treścią" nie są specjalnie lubiane. Inna sprawa, że często rzeczywiście treść zadania może być wielorako interpretowana.
wyciagam 9 kul
100-9x5-50 = 5
czyli jest pewny zysk
Ogólnie to mam wrażenie, że za bardzo przywiązaliście się do tego scenariusza z losowaniem 9 kul. Jaką strategię gry proponujecie (np. jaką odpowiedź udzielicie, jeśli wszystkie wylosowane kule będą białe). Jaki jest zysk w przypadku wygranej i jakie prawdopodobieństwo wygranej w przypadku zastosowania określonej strategii? Która strategia (ilość wybieranych kul oraz sposób odpowiadania) daje największy oczekiwany zysk?
Proszę zwrócić uwagę na fakt, że jak wyciągamy same białe (nie mamy pewnosci, ze jest czarna), to bez ponoszenia strat wyciagamy 10 i opowiadamy zgodnie z prawda. Nie mamy nic do stracenie.
Co więcej skupiłem się na prawdopodobieństwie zarobienia czegokolwiek. Otóż rozpatrzyłem wariant: wyciągam 9 białych (wtedy dobieram i nie ponoszę strat), albo wyciaam 9 i 9. okazuje się czarną.
prawdopodobieństwo 9x białe to okolo 17% - brak zysku
prawdopodobienstwo same biale i 9. czarna - 12%, takze z takim prawdopodobienstwem mamy gwarantowany zysk 5zł
1-12%-17% - gwarantowany zysk >5zł.
oczywiscie moje modele matematyczne moga byc bledne, nei dziele sie nimi
co więcej gra nei ma sensu, bo grjacy nie ma nic do stracenia, moze tylko zyskac, więc orgnizator nie ma ekonomicznego bytu ;p
oczywiscie nie rozwazam aspektu psychiki gracza, ktora w przypadku mniej analitycznych umyslow moze miec sens (chociaz gra szybko zostanie rozgryziona).
10 razy nie ma czarnej wyciagasz 9 nie czarnych i wygrywasz => 50 - 45 po 5 zł
10 razy jest czarna w tym:
9 razy ja wyciągasz i obstawiasz prawidłowo - znów wygrywając 5 zł
1 raz wyciągasz same nieczarne - obstawiasz że jej nie ma przegrywając 95 zł (50 + 9x5)
w sumie 19 razy wygrałeś 5zł raz przegrałeś 95zł.
wyciągając 9 kul wydajemy 95zl
które stracimy w przypadku gdy w tych 9 kulach nie było czarnej i źle wytypujemy ostatnia kule
a z 2 strony wyciągając 9 kul wygrywamy zwykle ale tylko 5zl wiec odrobienie strat to jest 19 wygranych
Pytanie, jak w praktyce wygląda "losowość" wystąpienia czarnej kuli?
Ja zagrał bym następującym systemem, na początek 1000 gier przy czym sprawdzam wszystkie 10 kul,
wychodzę na zero, ale mam informację o losowości występowania czarnej kuli, jeżeli jest rzeczywiście 1/2 daję sobie spokój, w innym przypadku zaczynam grać biorąc pod uwagę nieidealną losowość występowania czarnej kuli